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了解机率和或然率 概率，也就是机率，机率是属于数学中或然率的一部分。或然率可用於我们生活中的每个部分： 天气、科学、商业、保险、股票药学等。明天会下雨吗？男人平均能活多久？医生，我有多少机会？它合用范围很广，这个在数学中重要的一环，和DB及对DB的分析息息相关。 一堂速成的或然率课程那么，什么是或然率？它是对机会规则的研究。大部分的人都很熟悉它的基本概念－－或然率可以用来衡量一件事多常发生，或者更精确地说，可以期望它发生。虽然有些或然率专家们试著做统计，卻始终无法肯定；地球被小行星撞击的机率，或者一个小孩长大后成为百万富翁或奥运选手的机率。然而，其他的机率，包括DB中的机率，因为涉及的是我们知道全部结果的机制，因此可以准確地预测它的或然率。如果你丢一个普通的铜板，你掷岀正反两面的机率是一致的。丢铜板有两种结果，因此你丢岀正面的机率是1/2－－每两次你有一次丢岀正面的机会。 所以，机率对一特定事件（我们称之为X）的发生来说也是一样的。它把X可能发生的数目，和所有可能发生的总数（我们称之为Y）相比。可以这样来表示机率－－写成P(X) ,读成「X发生的机率」－－可以比率或分数的方式表达之。 P(X)=获得X结果的数目/所有可能的结果(或Y) 所以，在一副标准的52张牌中，抽中一点的机率是： P(拿到一点的机率)= 一点的牌数/所有的牌数 = 4/52 =1/13 其他任何一种机率的表达方式 机率有许多表达方式。虽然它们所指的都是同一个东西，但是在不同的情形下，某一种形式可能会比其他的来得方便。我们就来看看在52张牌中拿到梅花的机率。 P(拿到一张梅花）=梅花的牌数/所有的牌数 =13/52 =1/4 首先你要注意的是，13/52这个分数应该化简成1/4。一个简化过的、较为简单的形式通常看起来会比较顺眼，也比较有意义。如果你在书中看到一个机率，没办法一看就有感觉，那么很可能你必须先化简它。 让我们来看看几种拿到梅花的机率的方式。我们可以用小数的方式，0.25来表示四次中有一次的机会，或是说有25%的机会拿到梅花。 当人们说机率是50-50，他们指的就是两次中有一次的机会，也就是有50%的机会会出现这种情形，而有50%的机会不会出现。表示机率的时候，有时候我们用分数，有时候用小数，而有时候用百分比。 表达某一事件机率的不同方法 1）事件 抽到梅花 2）敘述 梅花的牌数/总牌数 3）分数 13/52=1/4 4）小数 0.25 5）百分比 25%（小数X100) 6）发生率 四次中有一次 7）比 3：1 基本机率法则 : 如果你能了解以下的规则，那么就不难理解大部分对DB的解释和分析。 (1)任一事件发生的机率必介於0和1之间 当机率为0时，表示该事件不可能发生;例如：用一个正常的六面骰子掷出7点的机率，这是绝对不可能发生的。 当机率为1时，该事件百分之百会发生;例如，用一个正常的骰子，掷出1到6点的机率即为1(当然扣除骰子边沿著地的机会)。 机率永远不会有负数－－0（表示该事件不可能发生），小於0的数字不具任何意义。 (2)一件事会发生和不会发生的机率总和为1 为什么呢？因为所有结果加起来的机率一定是1(100%)－－不管是不是你要的结果，一定有事会发生。 例如:用骰子掷出2的机率为1/6，加上掷出不是2的机率为5/6－－总和即为1(1/6+5/6=1)。这看起来很理所当然，但是当我们间接推算机率的时候，这可是相当好用的方法。举例说，你想要知道在一副正常的52张牌中，抽中梅花的机率是多少。但是你並不了解整副牌的组成元素。你只知道抽中非梅花的牌的机是3/4。其实知道这样就够了。 P(抽中梅花的机率)=1-P(抽中非梅花的机率) =1-3/4 =1/4 (3)连续事件发生的机率等於各独立事件机率的积 是的，这听起来很复杂，但是你或许已经很熟悉这个规则的运用方式了。这么说吧！假设你想要计算连续丢出两个1点的机率好了，丢一次骰子获得1点的机率是1/6(共有六种可能的结果，只有一种是你想要的)，而掷出两次1点的机率为:1/6X1/6=1/36。每次掷骰子都是「独立事件」(两者互相无关)，而发生这种「连续事件」(丢出两次1点)的机率即为二独立事件(1/6)的积(即相乘的结果)。因此，这连续事件並不一定是要同一颗骰子丢两次才行，如果同时丢两颗骰子，也可以构成连续事件－－因为两事件各自独立。 再举另一个例子：你同时丢一颗骰子跟铜板。那么，你丢出铜板正面且骰子为1点的机率为何？此为二独立事件，该事件的机率即为两独立事件的积。丢出铜板的机率是1/2，而丢出骰子1点的机率是1/6。因此发生此事的机率为1/2X1/6=1/12。 (4)两非独立事件发生的机率亦为两者的积，然而，当事件发生时，后发生的事件会受到先发生事件的影响。 这又是个令人困惑的说明，但是如果举个例来说就很清楚。例如:你想算在一副牌牌中，连续抽中三张梅花的机率。它的机率为13/52(52张牌中有13张梅花)X12/51（一张梅花－－一张牌已被抽走了)X11/50(两张梅花－－两张牌已经被抽走了)=0.0013或是1.3%。如果你在每次抽完又把牌再放回去，那就变成独立事件，抽到三张梅花的机率13/52X13/52X13/52=0.16或1.6%。 经典的机率实例 即然我们已经了解机率的基本概念（不是吗？）我们就来看一个经典的机率实例，让它告诉我们现代机率理论是从何起源的。 在十七世纪，一位名为薛瓦里耶。德美尔（Chevalier de Mere)的法国贵族，他是一个用骰子来赚钱的骗子，他跟对方下同等金额的注，赌说掷4次骰子，至少有一次会出现6点。他的理由如下： P(6)=1/6 P(6)=掷4次的机率=4X1/6=2/3 他的这种赌法赢了不少钱。虽说他的推理是错的－－我们等一下很快就会看到－－但是他还是佔有优势。（你已经知道他为什么错了吗？ 当玩这种游戏的受骗者变少后，薛瓦里耶开始改玩另一种赌注。他也是用同等赌金，打赌在掷两颗骰子24次时，至少会出现一次两个6点。他的推理如下： P(6,6)=1/36 P(6,掷24次中出现6的机率)=24x1/36=2/3 但令他惊讶的是，他开始输钱了。所以他就问他的朋友－－数学天才巴斯卡，为什么会发生之种事？巴斯卡觉得相当有意思，就问另一位数学天才德佛美。他们的想法一致，因次就創造出现代机率理论。（而我们竟要感谢一位骗子的老祖宗！）让我们来看看他们研究薛瓦里耶的问题的结果。 在第一个例子中，我们知道 在任一个骰子中，掷出6点的机率是1/6。但是，解决这个问题的真正方法，是要算没有丢出6点的机率是多少？很自然地，它就是5/6。所以，如果薛瓦里耶想知道真正的结果，他得知道 掷4次骰子时，没丢出6的机率。每次掷都是独立事件，请用上次提到计算独立事件机率公式，我们就会得到以下的结果： P(4次中没有掷出6点)=5/6x5/6x5/6x5/6=0.482 这表示有48.2%的机率不会丢出6点，因此薛瓦里耶算错了那个赌注。现在要算至少丢出一个6点的机率就很容易了。记得，有些结果一定会发生，那就是为什么我们用1减掉0.482。 P(掷4次骰子出现一次6点)=1-P(掷4次没出现6点的机率) =1-0.482 =0.518 所以，薛瓦里耶有51.8%的机率赢他的同等金额赌注，这就是为什么他能赚钱的原因，虽然机率不是他想的2/3。用倒回去的方式解决这个问题，虽然似乎和直觉相反，但实际上是比较容易算的。 薛瓦里耶最初的理由也是站不住脚的，如果我们再往下看一个步骤，用他错误的方法：如果掷6次骰子，掷骰子的人必定会丢出一次6点。很显然这是错的，也让我们知道为什么要算没发生该事件的机率是合理的。 现在让我们看看薛瓦里耶输的那个游戏：他想知道 在掷出24次骰子中，同时出现两个6点的机率为什么不是24/36。同样的，算出不出现的机率也是比较容易的： P(掷出24次骰子没掷出12点的机率)=(35/36)＾24 =0.509 因此： P(掷出24次出现一次12)=1-P(掷24次骰子没掷出12点的机率) =1-0.509 =0.491 啊哈！薛瓦里耶在第二种游戏中的机率只有0.491,也就是只有49.1%得胜，那就是为什么他会在这个相同赌注的游戏里输的原因，老千反被老千误，但是他真的很幸运，因为有当时最历害的几位数学家帮他解围。 一旦我们了解到一件事发生的机率，下一步就是想到该事件发生的「比」。如果说机率所描述的是一椿希望发生的事件与所有事件间的关系，则比所描述的则是希望发生的事件与不希望发生的事件间的关系。 就传统而言，比通常被认为是「不发生」该事件的比。这或许是你在进DC玩任何游戏时，最先想知道的吧！ 让我们再拿梅花的例子来说，我们知道它的机率是1/4;四次当中有一次成功的机会，有三次失败的机会，因此，该事件（抽到梅花）真正的比是3（失败的机率）比1（成功的机率）。或许这时候你会皱眉头想一下，「但是一副牌不是有52张吗？3比1的真正意思是什么？」好的，说3比1等於是说39（非梅花的张数）比13（梅花的张数），分数巳被化简过了。 当你丢一颗骰子，希望丢出2。丢出2的机率是1/6。比率是5比1;这也可以写成5-1。要了解「A-B」等於是说「A比B」。 比不一定永远是「多少比1」，但是所有的机率都可以写成比。遵守一个原则：把机率写成分数，假设是X/Y。记得，Y是所有可能发生的机率。而X是成功的或是希望发生的机率。所以用Y减掉X，你就可以算出所有你不希望发生事件的数目，然后就可以算出比。发生X事件的比为「Y-X比X」。假设某事件发生的机率为9/35。这不是个漂亮的数字，但我们还是算得出来。该事件发生的比是26比9。习惯上，我们会把它化简成一个较容易了解的形式，即使它不是整数。例如26比9可以化简为2.89比1。 娱乐城比真正的比，也就是一件事发生实际上的机率，可以在娱乐城里看出来。不然，长久下来，娱乐城是赚不到钱的。娱乐城比会告诉你从你的赌注中，你将会赢回多少钱。如果娱乐城的比是2-1，而你赢了，那就表示你每赌一单位，你就会赢回你原本赌注的两个单位。所以，如果你在一个2-1的游戏中赌1元，而你赢了，则你该拿回2元的利润及你原本的一元赌注，总共是3元。（这种比可写成不同的形式：2比1、2-1、2：1。 而同额赌金的赌注表示其比1-1。在这情形下，如果你赢了，你将会赢得与你赌注相等的金额。(1元同额赌注会赢回2元-----你原来的赌本加上1元的获利。 有些游戏会标示它们的机率是「A赔B」而不是「A比B」。如果是这样的话，你每次赌B，A的总额将还给玩家，包括玩家的赌本。例如：一个赌注是5赔1，而你下注1元，你将会拿回5元，这个数字就已经把你的赌金包含在内了。所以你实际上的获利只有4元，因此5赔1的赌注实际上是4比1的赌注，这其中有很大的差别，不要因为看到数字比较多，就以为你会拿回比较多钱----要看看是「赔」或是「比」，而且你要知道 「A赔B」等于「（A-B)比B」。 这个比，大家要小心，很多人就会搞错。给个小习题大家做，大家在21点赌台上面看到的 BLACKJACK PAYS 3 T0 2 和 INSURANCE PAYS 2 TO 1 是什么意思呢？ 了解娱乐城的优势我好像听到你这样说：“谢谢你帮我上机率课，但是我是准备要去赌一把的啊！”别这么急，难道你不想知道娱乐城怎样从你身上榨钱，而这样的机率有多大吗？机率和比让你了解到在一个公平的世界里，你该期望些什么？但是我的朋友啊！娱乐城可不是一个公平的世界。 玩家口袋的钱之所以会跑到娱乐城保险箱里的原因，是娱乐城根本没付他们所该付的。他们並没有作弊，他们也没有耍老千，他们也不是靠玩家手气背或是太笨（虽然这样对他们很有帮助），但他们靠的是数学。我们一起来看它是怎样运作的吧 期望值: 现在该是秀出Dubo101法宝的时候了。是的，你猜到了，是铜板。假设你朋友找你玩个游戏：她抛一个铜板，你猜出它的正反面。如果你猜对了，你就蠃1元。如果你猜错了，你就输1元。如果铜板没有机关，是公平的，但这是个很无聊的游戏。最终，有一半的机会你会赢1元，一半的机会你会输掉1元。你获得的钱就是根据实际比（1-1），而最终，你不会输钱或蠃钱。你的期望值是0。 但你可别希望当地的娱乐城（或是你那些比较有心机的朋友们）会让你玩这种游戏。娱乐城版的游戏很可能会是这样：如果你猜中了铜板的正反面，你会赢90分；如果你猜错了，你会输1元。当然你早就知道那是很差劲的，那你对该游戏实际上的期望值是多少呢？期望值，通常指的是期望的值、期望的结果、期望的胜利、期望的回收，它可以告诉你所下的赌注可以期待赢或输我少。为了要算出我们能期待赢（或输掉）某个特定的赌注，我们要看看输赢的结果及其与金钱的关系。这会告诉我们特定一个赌注的期望值（在这里简写为E）。我们来看看你在这个赌注中的期望值： E=[P(赢的结果)X(赢的数目)]+[P(输的结果)X(-输的数目)] E=[P(猜对正反面的数目)X($0.9)]+[P(猜错的数目)x(-$1)] =[(1/2)x(0.9)]+[(1/2)x(-1)]=-0.05 因此，你每赌1元，可想而知会输掉5分(0.05元)。如果你玩这游戏玩得夠久的话，娱乐城就会赢去你所有的钱啰！ 我们用铜板举例是因为它明瞭易懂，但是它实在是太过简单了。上述所有规则几乎适用於所有娱乐城的游戏，最重要的是，娱乐城藉由付出低於实际机率的钱，以达到营利目的。你或许算不出一个特定游戏的每个数字，或者知道它确切的统计数字(这就是为什么我在这里的原因了)，但是现在你巳经知道，当你没有得到与机率同等的报偿时，你是居於劣势的，就像刚刚丢铜板的例子是一样的。 你要成为一位认真的赌者，绝不能把期望值放在一边不管，因为有个很好的理由－－期望值让你知道你该怎样计划，在最后都能把你的钱从一个游戏（或一把赌注中）赢回来。你可以用期望值当作你玩游戏的黄金准则，或者你可以把期望值变成一个你比较熟悉的词－－庄家优势。 庄家优势庄家优势，也叫娱乐城优势，是通常用来衡量一种游戏的指标。庄家优势越大，娱乐城就有越多优势。! Q" i% x( y9 \; T 很简单，庄家优势只是把期望值换成百分比而巳。这要怎么算呢？首先，我们要把它转成最简单的形式，所以你要把期望值除以赌注的总数，以获得你每赌一元期待有多少结果。举例来说，如果你每赌3元的期望值是-$0.06元，每一元的期望值就是-$0.02。（如果可能的话，我们以一元为单位来计算期望值，然后略过这个步骤，因为这样的期望值已经是每一元赌金的期望值了）你只要再把期望值前的负号去掉，然后再乘以一百，变成百分比。因为传统上百分比都是「正」的 ——从庄家的角度而言－－ 我们不得不屈就於现实，因为大部份娱乐城里的游戏都是对庄家有利的。 以丢铜板的游戏而言，你会得到以下的结果：( 我列出除以每一元赌金这个步骤，虽说这通常是不必要的。） 庄家优势=(0.05X100)/1=5% 庄家优势正告诉了我们期望值的作用:每1元里有5分($1里有5%)最后会变成庄家的。就玩家的观点而言，它应该是负的才对。如果你偶然遇到了玩家期望值是正的机会——表示你可以在游戏中赢钱？在这样的情形下，庄家优势是负的，这是很令人困惑的，但是如果你站在娱乐城的角度来看，就是一致的。 描述游戏期望值的各种不同方式 双零轮盘 玩家每赌一元的期望值 -0.0526 庄家优势 5.26% 理论上每次赌注会输的金额 $0.0526 回收百分比 94.74% 理论上每一元可以回收的金额 $0.9474 在很多地方，庄家优势都将以正数表示，那表示它对你不利。它越高的话，情形就越糟;当它是恰当的时候，我们就会提到玩家正的期望值。另一种表示的方法，就是提到报酬率。我们在提到吃角子老虎机及电动扑克机时常提到它，这跟提到庄家(庄家优势)能赢多钱的表示方式正好相反，报酬率指的是玩家能赢得多少钱。如果说一个东西能有97%的报酬率，则表示你每赌一元可以回收97分，而庄家获得3分。 让我们来玩个游戏吧让我们把所知的规则运用在一个很简单的机率游戏：假设当地的娱乐城迫不及待地发明出这种无聊的游戏：在一个黑碗里装13颗弹珠，包括9颗蓝的，4颗红的，所有弹珠的大小重量相等，除了颜色以外没有其他差别。每次玩游戏时都是任意选取弹珠（没有经过刻意的挑选），你可以赌说它是红的或蓝的;娱乐城的比是蓝弹珠7赢5，红弹珠3比1。你该玩这个游戏吗？如果你想下注的话，该如何下注呢？首先，我们列出所有可能的机率: 弹珠游戏的机率事件 抽中蓝色的机会 分数 9/13 小数 0.6923 百分比 69.23% 比例 4比9 发生机会 1.44次中有1次 事件 抽中红色的机会 分数 4/132 小数 0.3077 百分比 30.77% 比例 9比4 发生机会 3.25次中有1次 我们来看看你赌蓝色的话会发生什么事？因为它的赔率是7赔5，实际上也就是2比5（如果你觉得困惑的活，请见前面的「娱乐城比」 这表示当你赌5元时会有2元获利，而你也会把你的5元赌金赢回来（总金额是7元）。请比较娱乐城的比2比5和实际应有的比为4比9;在娱乐城里，你要赌10元才能赢4元，而实际上的比卻显示你只要花9元就可以赢4元。在这里我们就能夠看到娱乐城的典型作法，付比实际上应付的钱少以获利。现在我们来算算期望值及庄家优势。记住，你每赌5元，抽中蓝色的话只能帮你赚2元： E=[9/13x(+2)]+[4/13x(-5)] = -2/13=-0.1538 每一元赌注的期望值=-0.1538/5 =0.0308 庄家优势=3.08% 所以我们每赌一元，就期望输掉3分。这虽然看起来不怎样可怕，但也不怎样好。再接下来我们要讨论怎样估计庄家优势。 现在我们来看看赌抽中红色的情形：比例显示为3比1，把它与真正的机率9比4相比，如果你赌4元会抽中红色，娱乐城会给你12元，再加上你原来的赌金，实际上的机率告诉你只会赢9元。嗯，我们来算算庄家优势的期望值： E=[9/13X(-4)]+[4/13X(+12)]=12/13 =0.9231 每赌1元的期望值=0.9231/4=0.2308 庄家优势(?!)= -23.08% 看起来似乎娱乐城犯了一个大错。庄家优势並非是优势啊(因为出现负号)！这样的赌注可是对玩家大大有利。玩家每赌一元最终就可期望回收23分。对娱乐城而言，这个虚擬游戏大概会被称着「不幸的13」吧！ 你或许已经注意到了两种不同的机率表达方式：7赔5和3比1。这样做是为了要让你更熟悉机率的表达方式，但我也偷偷地犯下一个每个玩家都想发现的「错误」。（可别因此就抱着希望，因为你很少或几乎是没有机会找到这种错误，机率接近0。）一家精明的娱乐城会把抽中红弹珠的机率改成3赔1，也就是2比1。这就完全地改变了赌注的期望值，而结果就变成庄家优势是7.69%，那可是有很大的不同喔！（你自己算一次看看吧，来吧！我知道你很想算一次。）一个游戏告示的印刷错误，对精明的玩家而言就像天堂一样，而对娱乐城来说则是场大灾难。就像我说过的，你绝对不可能遇到那样的事，即使是接近那样的事也相当不可能，但那也是个诱人的好例子～或许有些夸张吧～告诉你了解怎样下赌注是值得的。 思考庄家优势藉由数字的计算，可以让我们知道庄家优势的具体概念，但是我们别忽略这优势告诉我们什么----娱乐城佔优势的时候並非我们输的时候，而是我们赢的时候。是的，你没有看错。在大部分的游戏中，庄家优势榨乾了你赢的钱，並非你输的钱。为什么呢？因为当你赢的时候，你並没有拿到合理的赌金。 我们已经看过它了。回到丢铜板的例子吧。真正伤害你的並非你输1元，而是因为你赢的时候只得到90分。最终你的输赢总和----也就是你猜正反面的结果----会是相等的，但是你的钱卻不相等，因为你赢的时候並没有获得足够的钱，这就是娱乐城偷偷抽税的方法。玩家们总是在为自己输钱懊惱不已----当然，这在短期内是会造成伤害的----但是他们真正该担心的是，当他们赢的时候「输掉」多少钱？很少玩家知道或观察到因为庄家少给钱，所以他们玩的並不公平的游戏。 你可能偷笑地想著：「别想用似是而非的话迷惑我，我赢的机会总比输的多。」我同意。如果我知道我总是会赢，那我就不用去想我得到的是不是真正应得的比例，或是恰当的比例，但很可悲的是，事实和机率告诉我们，我们会赢一些也会输一些。这样说吧：如果娱乐城有个游戏只有两个选项让你下注，而你两边都下注，你还是会输。你不会没输没赢。你不能打平的理由是因为你赌赢的那边----那是一定会发生的事，因为只有两种可能----没有给你它该付的，而与输的那边无关。 这在玩轮盘时最明显了。你在每个数字上都下一样的赌注，轮盘停下来的时候，当然会落在其中一个你下注的数字上。那么，你会赢钱吗？当然不会。每个数字真正的比是37比1，而娱乐城只会付你35比1。如果你在每个数字上都下注1元（共37元，单零轮盘），你赌中的那个数字只会帮你赚35元，加上你原本的1元，你总共还输1元。你没得到你应得的数字，而那就是庄家优势。了解这狡猾的机制怎样运作是很重要的，别认为你是在猜迷游戏中跟庄家比赛，因为你时间算错或是运气不好才让你输的。你是真的在跟他们玩一个你最终不可能赢的游戏。要成为一个老练的娱乐城玩家或职业赌徒，你就要了解娱乐城的秘密收费。
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