24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数（A代表1）运用加、减、乘、除和括号进行运算得出24。每张牌都必须使用一次，但不能重复使用。在不同版本中，对J、Q、和K的处理有些差异。一个常见的版本是把J、Q、和K去除，或当成10；还有一个版本是把J表示11，Q表示12，K代表13。</p><p>有些组合有不同种算法，例如2，4，6，Q四张牌可用 2 + 4 + 6 + 12 = 24 或 4 × 6 ÷ 2 + 12 = 24 或 12 ÷ 4 × (6 + 2) = 24等来求解。也有些组合算不出24，如1、1、1、1 和 6、7、8、8等组合。</p><p></p>
[micxp_threadbk]
[micxp_title]
较有难度的24点
大数／奇数运算
24点的组合数学
影响
参见
[/micxp_title]
[#]


虽然大多数24点存在很多解法，有相当一部分数字组合只存在唯一的解法。这种组合往往较有难度，也较为有趣。这里总结一些常见的组合。

[##]


大多数组合中，中间步骤只会涉及到一些较小的数字（≤32）。但是有些组合中会涉及到一些较大数字，这些组合通常较有难度。比如4、4、10、10的解法为(10 × 10 − 4) ÷ 4 = 24，5、6、6、9的解法为6 × 9 − 5 × 6 = 24。此外如果运算涉及到一些奇数的运算也会增加难度，比如6、9、9、10的解法为9 × 10 ÷ 6 + 9 = 24。一些例子如下：

<table class="prettytable" style="width:720px; font-size:85%; margin-left:15px; text-align:left; font-family:'lucida console',courier">
<tr>
<th width="140">数字组合</th>
<th>解法</th>
<th>数字组合</th>
<th>解法</th>
</tr>
<tr>
<td> 1,  3,  9, 10</td>
<td>(1 + 10) × 3 − 9</td>
<td> 7,  8,  8, 10</td>
<td>10 × 8 − 7 × 8</td>
</tr>
<tr>
<td> 9, 11, 12, 12</td>
<td>11 × 12 − 9 × 12</td>
<td> 1,  2,  7,  7</td>
<td>(7 × 7 − 1) ÷ 2</td>
</tr>
<tr>
<td> 3,  8,  8, 10</td>
<td>(8 × 10 − 8) ÷ 3</td>
<td> 4,  8,  8, 11</td>
<td>(8 × 11 + 8) ÷ 4</td>
</tr>
<tr>
<td> 5, 10, 10, 13</td>
<td>(10 × 13 − 10) ÷ 5</td>
<td> 1,  5, 11, 11</td>
<td>(11 × 11 - 1) ÷ 5</td>
</tr>
<tr>
<td> 1,  6, 11, 13</td>
<td>(11 × 13 + 1) ÷ 6</td>
<td> 1,  7, 13, 13</td>
<td>(13 × 13 − 1) ÷ 7</td>
</tr>
</table>
[###]


其实独立的24点的个数并不多。如果每张牌面的数值被限制在1到K之间，独立的数字组合数由有重复的组合数给出。：

<dl>
<dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" >
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>N</mi>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mrow>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN">
              <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo>
            </mrow>
            <mfrac linethickness="0">
              <mrow>
                <mi>K</mi>
                <mo>+</mo>
                <mn>3</mn>
              </mrow>
              <mn>4</mn>
            </mfrac>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE">
              <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo>
            </mrow>
          </mrow>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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              <mi>K</mi>
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              <mo stretchy="false">(</mo>
              <mi>K</mi>
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              <mn>2</mn>
              <mo stretchy="false">)</mo>
              <mo stretchy="false">(</mo>
              <mi>K</mi>
              <mo>+</mo>
              <mn>3</mn>
              <mo stretchy="false">)</mo>
            </mrow>
            <mn>24</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mspace width="thinmathspace" />
        <mspace width="negativethinmathspace" />
      </mstyle>
    </mrow>
    {\displaystyle N={K+3 \choose 4}={\frac {K(K+1)(K+2)(K+3)}{24}}\,\!}</annotation>
  </semantics>
</math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce1ef5846954248d4bd86f08b4fa0457a08bffa5" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; margin-right: -0.387ex; width:44.925ex; height:6.343ex;" alt="N={K+3 \choose 4}={\frac  {K(K+1)(K+2)(K+3)}{24}}\,\!" />。</dd>
</dl>

譬如，如果最大的牌面数值为10，那么独立的数字组合为715个，远比10000要小；如果最大的牌面数值为13，那么独立的数字组合为1820个。这是因为其他的组合可以通过简单的数字交换得到。


可以用枚举证明，如果最大牌面数值为10，在715个组合中，有149个组合是没有解的。此外，如果我们随机的取4个1-10之间的数字，无解的概率为1442/10000大致为1/7。如果最大牌面数值为13，则会有458个组合无解（总数为1820）。

[####]


<mark class="template-facttext" title="需要提供文献来源">该游戏在中美两国都十分流行，也是课堂教学的内容之一。</mark>[来源请求]

[#####]

<ul>
<li>21点</li>
<li>IVXLCDM问题</li>
</ul>



                                       
                                                                                       
                                分类：<ul><li>数学游戏</li><li>扑克牌游戏</li></ul>隐藏分类：<ul><li>自2014年1月缺少来源的条目</li><li>有未列明来源语句的条目</li></ul>
[/micxp_threadbk]

24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数（A代表1）运用加、减、乘、除和括号进行运算得出24。每张牌都必须使用一次，但不能重复使用。在不同版本中，对J、Q、和K的处理有些差异。一个常见的版本是把J、Q、和K去除，或当成10；还有一个版本是把J表示11，Q表示12，K代表13。</p><p>有些组合有不同种算法，例如2，4，6，Q四张牌可用 2 + 4 + 6 + 12 = 24 或 4 × 6 ÷ 2 + 12 = 24 或 12 ÷ 4 × (6 + 2) = 24等来求解。也有些组合算不出24，如1、1、1、1 和 6、7、8、8等组合。</p><p></p>
[micxp_threadbk]
[micxp_title]
较有难度的24点
大数／奇数运算
24点的组合数学
影响
参见
[/micxp_title]
[#]


虽然大多数24点存在很多解法，有相当一部分数字组合只存在唯一的解法。这种组合往往较有难度，也较为有趣。这里总结一些常见的组合。

[##]


大多数组合中，中间步骤只会涉及到一些较小的数字（≤32）。但是有些组合中会涉及到一些较大数字，这些组合通常较有难度。比如4、4、10、10的解法为(10 × 10 − 4) ÷ 4 = 24，5、6、6、9的解法为6 × 9 − 5 × 6 = 24。此外如果运算涉及到一些奇数的运算也会增加难度，比如6、9、9、10的解法为9 × 10 ÷ 6 + 9 = 24。一些例子如下：

<table class="prettytable" style="width:720px; font-size:85%; margin-left:15px; text-align:left; font-family:'lucida console',courier">
<tr>
<th width="140">数字组合</th>
<th>解法</th>
<th>数字组合</th>
<th>解法</th>
</tr>
<tr>
<td> 1,  3,  9, 10</td>
<td>(1 + 10) × 3 − 9</td>
<td> 7,  8,  8, 10</td>
<td>10 × 8 − 7 × 8</td>
</tr>
<tr>
<td> 9, 11, 12, 12</td>
<td>11 × 12 − 9 × 12</td>
<td> 1,  2,  7,  7</td>
<td>(7 × 7 − 1) ÷ 2</td>
</tr>
<tr>
<td> 3,  8,  8, 10</td>
<td>(8 × 10 − 8) ÷ 3</td>
<td> 4,  8,  8, 11</td>
<td>(8 × 11 + 8) ÷ 4</td>
</tr>
<tr>
<td> 5, 10, 10, 13</td>
<td>(10 × 13 − 10) ÷ 5</td>
<td> 1,  5, 11, 11</td>
<td>(11 × 11 - 1) ÷ 5</td>
</tr>
<tr>
<td> 1,  6, 11, 13</td>
<td>(11 × 13 + 1) ÷ 6</td>
<td> 1,  7, 13, 13</td>
<td>(13 × 13 − 1) ÷ 7</td>
</tr>
</table>
[###]


其实独立的24点的个数并不多。如果每张牌面的数值被限制在1到K之间，独立的数字组合数由有重复的组合数给出。：

<dl>
<dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" >
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
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        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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                <mn>3</mn>
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              <mn>4</mn>
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            <mn>24</mn>
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    {\displaystyle N={K+3 \choose 4}={\frac {K(K+1)(K+2)(K+3)}{24}}\,\!}</annotation>
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</math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce1ef5846954248d4bd86f08b4fa0457a08bffa5" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; margin-right: -0.387ex; width:44.925ex; height:6.343ex;" alt="N={K+3 \choose 4}={\frac  {K(K+1)(K+2)(K+3)}{24}}\,\!" />。</dd>
</dl>

譬如，如果最大的牌面数值为10，那么独立的数字组合为715个，远比10000要小；如果最大的牌面数值为13，那么独立的数字组合为1820个。这是因为其他的组合可以通过简单的数字交换得到。


可以用枚举证明，如果最大牌面数值为10，在715个组合中，有149个组合是没有解的。此外，如果我们随机的取4个1-10之间的数字，无解的概率为1442/10000大致为1/7。如果最大牌面数值为13，则会有458个组合无解（总数为1820）。

[####]


<mark class="template-facttext" title="需要提供文献来源">该游戏在中美两国都十分流行，也是课堂教学的内容之一。</mark>[来源请求]

[#####]

<ul>
<li>21点</li>
<li>IVXLCDM问题</li>
</ul>



                                       
                                                                                       
                                分类：<ul><li>数学游戏</li><li>扑克牌游戏</li></ul>隐藏分类：<ul><li>自2014年1月缺少来源的条目</li><li>有未列明来源语句的条目</li></ul>
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